数学是人类创造的吗（数学是客观存在的还是人类发明的？）

哲学家和数学家之间一直在争论数学是发现的还是发明的。有人认为数学是人类的发明，是人们创造的符号和规则系统，用于表示和组织抽象概念。其他人则认为数学是一种普遍存在，独立于人类意识而存在，我们只是发现和揭示它的真理。这个问题没有唯一的“正确”答案，不同的人可能会根据他们的信仰和经验对此有不同的看法。

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数学是发现的还是发明的？

数学家在回答一个复杂的问题时会做什么？如果我从学习中学到了一项实用技能，那就是将问题简化为小块（定义或公理）。让我们在这里也做同样的事情，并将问题分解到最小的粒度。

什么是“数学”？

目前还不完全清楚应该如何定义数学。我以前写过一篇关于这个主题的文章，所以我会推荐读者去看看那篇文章。（这不是我另一篇文章的广告，而是我懒得在这里重复另一个复杂的话题）。

什么是“发现”

“发现”一词是指发现或发现以前未知的事物。在科学中，发现某物意味着它已经存在并且我们正在获得关于它的知识。它涉及了解以前未知或未见过的事物。这个词通常用于寻找新地方和科学突破的上下文中。”

什么是“发明”

“发明”一词的意思是设计以前不存在的东西。我们也可以说“创造”、“发现”或“构造”。

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在整个人类历史上，关于数学本质的争论一直在进行。

数学是发明还是发现的问题一直是数学哲学的核心问题，对我们对知识、语言、现实和真理的理解具有重要意义。

事实上，这个问题仍然围绕着中心数学概念和主题——比如数字。毕达哥拉斯学派认为数字是有生命的实体，并赋予它们特定的属性。

对于“发明与发现”的问题，不同的学派有不同的看法。许多著名的哲学家都讨论过这个想法。康德的《纯粹理性批判》得出结论，正如欧几里德几何学所理解的那样，空间和时间不是世界的客观特征，而是我们用来组织经验的框架的一部分。

柏拉图主义是一种形而上学观点，认为存在抽象的数学对象，它们的存在独立于我们以及我们的语言、思想和实践。使用柏拉图主义一词是因为这种观点被视为与柏拉图的形式理论和柏拉图洞穴寓言中描述的“理念世界”相似：日常世界只能不完美地逼近一个不变的终极现实。

直觉主义者认为数学纯粹是人类的创造，只存在于我们的头脑中。他们的座右铭是“没有未经经验的数学真理”。

事实上，作为一个想成为数学家和哲学家的人，我也决定分享我的观点。

关于“发现数学”的争论

我对数学的看法被发现

为什么有人会争论数学存在于自然界中？与许多真理取决于上下文的其他科学相比，我会说这是绝对的。2 + 2 永远是 4，这是一个普遍的真理，无论观察者如何。

论点 1：我们的宇宙和自然是数学的

根据存在的法则，我们的宇宙本质上是数学的，一切都可以用数字和公理来解释。系统内的一切都可以用数学来解释、管理和量化。甚至爱因斯坦 [1] 一直争论这种思想流派直到他去世，相信相对论可以完美地解释一切，如果它可以扩展得足够多，认为

数学这种独立于经验的人类思想产物，怎么可能如此完美地符合物理现实的对象呢？

论点二：即使我们没有发现数学，它仍然存在。

想想 2008 年的新闻标题“发现了巨大的新素数”。不太可能有人会争辩说这个素数是在 2008 年发明的。对吧？我们不仅仅是随机发现新的数学事实。我们甚至正在积极寻找它们，这意味着我们以某种方式知道它们已经存在。

类似的情况是pi值的计算。自从它在古代的第一次近似以来，这已经走了很长一段路。艾萨克·牛顿 (Isaac Newton)，他在 1665 年使用无穷级数和微积分将圆周率计算到了 15 位数字。这是一项重大成就，但这仅仅是个开始。20 世纪中叶电子计算机和算法的使用使圆周率的计算取得了更快的进步。今天，我们有能力将 pi 计算到令人难以置信的小数位数，目前的记录约为 31.4 万亿位。

论点 3：非欧几何的发现再次试图发明数学

这个例子是我最喜欢的，因为它很好地描述了人类如何正确地做数学，但一开始就创造了错误的公理。但观察现实世界最终使我们走上了正确的道路。

要理解，请记住公理= 一个非常清楚的起始规则，我们将其视为数学中的事实。在公理上，我们然后建立数学理论并证明事实（定理）。

直到 19 世纪，欧几里德几何一直是几何学的主要形式。欧几里德为几何设定了五个规则（公理）。然而，后来的数学家们意识到并不是所有的空间都是良好的（称为欧几里得），欧几里得规则并不适用于所有地方。见下图。在中间，有一个漂亮的欧几里得空间，您可以在其中绘制一个内角之和为 180 度的三角形。然而，在球面或双曲面上，这突然就不成立了。因此，数学家需要为其他类型的空间制定其他规则集。（虽然他们花了几个世纪）。有趣的事实：这些其他类型的空间和几何形状后来让爱因斯坦发展了他的相对论。

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我们已经看到，数学家能够发展出一个完整的几何理论，这个理论在几个世纪以来一直被广泛接受，但只有环顾世界，这个不充分的理论才能得到扩展。如果数学家与外界隔绝，他们可能会继续发明一些不真实的东西。但是，数学真的完全存在于自然界中并且我们发现了它，就像研究人员发现了新的植物和动物物种一样吗？

关于“数学是发明的”的争论

我对发明数学的看法

有明显的迹象表明人类在数学的发展中付出了努力。你能简单地观察一个物体并确定它的长度是2米吗？不。相反，我们逐渐建立对数学的理解，使用公理作为基础，就像用乐高积木一样。当然，必须创建这些公理才能有意义，正如我们在欧几里德几何的例子中看到的那样。如果做得正确，这个过程不需要我们直接观察外部世界。

论点 1：数学的大部分首先是独立于现实世界而发明的，仅使用人脑

一些数学家甚至为数学与现实世界没有直接联系而感到自豪。例如，哈代发展了数论并声称它没有实际用途。后来发现他的工作在密码学和遗传学等领域有应用。另一个建立数学并在后来才发现它的例子是黎曼在 19 世纪的工作后来被爱因斯坦用于他的广义相对论，展示了数学的实际应用。

论点 2：一些数学对象在自然界中根本不存在。

例如，现实中不可能存在完美的圆，因为它的坐标没有 3D 结构。微积分的极限在现实中不可能存在，但有助于以自然的方式解释宇宙。像圆周率和欧拉数这样的无理数也是这方面的例子，因为它们是无限的数字，不能从有限的能量包中创造出来。微积分的极限在现实中不可能存在，但有助于以自然的方式解释宇宙。因此，数学可以看作是解释现实的工具，但不等同于现实。

论点三：数学真的是绝对真理吗？

数学并不总是存在于自然界中，定理也不是绝对的。在数学中陈述某事时，我们总是声明某些条件（如果 X 为真，则 Y 为真）。我说过数学是绝对真理，但还是在一定的数学条件下。下面你可以看到一些非常重要的陈述——你不必理解它们的含义就能看到它们都陈述了（在定理的开头）它们适用的一些条件。

论点 4：发明微积分来处理大小无穷大

微积分是由牛顿和莱布尼茨在 1600 年代后期发明的，它是一种将连续运动理解为一系列无穷小步骤的技术。这门学科处理无限大和无限小的数字。这些领域甚至处理无限级数以及如何对它们求和，以及导数（函数运动的无限小变化）和积分（求曲线下的体积）。显然，无穷大是一个不存在的“数”。你不能去杂货店买无限量的意大利面。它只是人类发明的一个非常有用的概念，用来近似我们在宇宙中看到的东西。没有这些工具，可能无法描述我们世界的某些部分。

结论

正如我想说的，这取决于。特别是，它取决于我们如何定义数学以及我们做什么或不考虑其中的一部分。

与科学中的许多其他事物一样，数学是一种描述我们周围世界的机制。在我看来，数学包括发现现实世界的现象，对它们进行建模并预测我们世界中未发现的部分。与模型一样，它有时会使用启发式方法，有时不是 100% 精确的，有时我们会使用错误的模型并在一段时间后才对其进行改进。因此，数学的一部分是发明的，一部分是被发现的。